Gaetano Stampa est nommé archevêque titulaire de Calcedonia en 1717, avant d'être envoyé comme nonce apostolique dans le Grand-duché de Toscane en 1718 puis dans la République de Venise de 1720 jusqu'en 1730.
Il est secrétaire de la Congrégation des évêques et des réguliers en 1734.
À partir de 1740, Gaetano Stampa est archevêque de Milan.
Le pape Clément XII le crée cardinal lors du consistoire du 23 février 1739.
Il participe au conclave de 1740 lors duquel Benoit XIV est élu pape.
Gouverneur de Spolète (1708), d’Ancône (1709)
Inquisiteur de Malte (1716)
Archevêque titulaire de Chalcédoine (1717)
puis Archevêque de Milan (1737)
Cardinal-Prêtre (1739), puis Cardinal de Sant'Alessio (1740)